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• Folgen und Reihen

• Arithmetische und geometrische Folgen

• Grenzwerte : Definition (Folgen)

• Grenzwertsätze (Folgen)

• Funktionen (formale Eigenschaften)

• Grenzwerte von Funktionen

• Stetigkeit

• Grundlegendes

• Differentialrechnung

• Differenzierbarkeit: Definitionen

• Geometrisches: Tangenten

• Ableitungsregeln

• Ableitungen wichtiger Funktionen

• Geometrische Anwendungen: Eigenschaften von Kurven ( Kurvendiskussion )

• Integralrechnung

• Flächenberechnung

• Eigenschaften des bestimmten Integrals

• Integralfunktion und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

• Spezielle Stammfunktionen

• Integrationsmethoden

• Angewandtes

• Näherungsweises Berechnen von Integralen: Numerische Integration

• Quellen

a n + 1 − − a n = d f u ¨ ¨ r a l l e n {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n}

a n = 1 2 ( a n − − 1 + a n + 1 ) {\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{2}}(a_{n-1}+a_{n+1})}

a n = a 1 + ( n − − 1 ) d {\displaystyle \,a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

a n + 1 a n = q f u ¨ ¨ r a l l e n , q ∈ ∈ R ∖ ∖ { 0 } {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} n,q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}

a n = a n − − 1 ⋅ ⋅ a n + 1 {\displaystyle a_{n}={\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}}

a n = a 1 ⋅ ⋅ q n − − 1 {\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}

• Die Folge ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} heißt Nullfolge, wenn es zu jedem ϵ ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} eine Nummer n 0 {\displaystyle n_{0}} gibt, sodass für alle Folgeglieder mit höherer Nummer, also n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} gilt:

| a n | < ϵ ϵ {\displaystyle \,|a_{n}|<\epsilon }

• Eine Folge ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} hat den Grenzwert a, wenn die Folge ( a n − − a ) {\displaystyle (a_{n}-a)} den Grenzwert 0 hat.

• Folgen ohne Grenzwert heißen divergent.

• Eine Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl K > 0 {\displaystyle K>0} gibt, sodass | f n | < K {\displaystyle |f_{n}|<K} für alle n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } gilt.

Hat die Folge ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} den Grenzwert a, die Folge ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} den Grenzwert b, so gilt:

• lim n → → ∞ ∞ ( a n ± ± b n ) = a ± ± b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b}

• lim n → → ∞ ∞ ( a n ⋅ ⋅ b n ) = a ⋅ ⋅ b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b}

• lim n → → ∞ ∞ a n b n = a b b ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad b\not =0}

• [Definition, Eigenschaften, Grenzwertsätze analog]

Sei f ( x ) = u ( x ) v ( x ) . {\displaystyle f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}.}

• Es gibt eine Stelle a {\displaystyle a} , sodass u ( a ) {\displaystyle u(a)} und v ( a ) {\displaystyle v(a)} entweder Null sind oder bestimmt divergieren

• u {\displaystyle u} und v {\displaystyle v} sind in einer Umgebung von a {\displaystyle a} differenzierbar

• Der Grenzwert lim x → → a u ′ ( x ) v ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}} existiert.

lim x → → a u ( x ) v ( x ) = lim x → → a u ′ ( x ) v ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {u(x)}{v(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {u'(x)}{v'(x)}}}

Die Funktion f : : X → → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \;} hat für x → → p + {\displaystyle x\to p+} den Limes L {\displaystyle L\;} , wenn es zu jedem (noch so kleinen) ε ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\;} ein δ δ > 0 {\displaystyle \delta >0\;} gibt, sodass für alle x {\displaystyle x\;} -Werte aus dem Definitionsbereich X {\displaystyle X\;} von f {\displaystyle f\;} , die der Bedingung 0 < x − − p < δ δ {\displaystyle 0<x-p<\delta \;} genügen, auch | f ( x ) − − L | < ε ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \;} gilt.

In diesem Falle nennt man den Grenzwert lim x → → p + f ( x ) := L {\displaystyle \lim _{x\to p+}f(x):=L} konvergent.

Eine Funktion f {\displaystyle f} heißt an einer Stelle x 0 {\displaystyle x_{0}} stetig, wenn der Grenzwert von f {\displaystyle f} für x {\displaystyle x} gegen x 0 {\displaystyle x_{0}} existiert und mit dem Funktionswert f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} übereinstimmt

f ( x 0 ) = lim h → → 0 f ( x 0 + h ) = lim h → → 0 f ( x 0 − − h ) = lim x → → x 0 f ( x ) {\displaystyle f(x_{0})=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}-h)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)}

• Epsilon-Delta-Kriterium: f : : D → → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } ist stetig in x 0 ∈ ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D} , wenn zu jedem ε ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ein δ δ > 0 {\displaystyle \delta >0} existiert, so dass für alle x ∈ ∈ D {\displaystyle x\in D} mit | x − − x 0 | < δ δ {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta } gilt: | f ( x ) − − f ( x 0 ) | < ε ε {\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon } .

• Folgenkriterium: f : : D → → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} } ist stetig in x 0 ∈ ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D} , wenn für jede Folge ( x k ) k ∈ ∈ N {\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }} mit Elementen x k ∈ ∈ D {\displaystyle x_{k}\in D} , die gegen x 0 {\displaystyle x_{0}} konvergiert, auch f ( x k ) {\displaystyle f(x_{k})} gegen f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} konvergiert.

Eine im Intervall [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( a < b {\displaystyle a<b} ) stetige Funktion f {\displaystyle f} nimmt jeden Funktionswert zwischen f ( a ) {\displaystyle f(a)} und f ( b ) {\displaystyle f(b)} mindestens einmal an.

Spezialfall: Nullstellensatz

Eine in I {\displaystyle I} stetige Funktion, bei der f ( a ) {\displaystyle f(a)} und f ( b ) {\displaystyle f(b)} verschiedene Vorzeichen haben, hat dort mindestens eine Nullstelle.

Eine in einem Intervall stetige Funktion hat dort stets einen größten und einen kleinsten Funktionswert.

Es sei f : [ a , b ] → → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } auf dem abgeschlossenen Intervall [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ( a < b {\displaystyle a<b} ) stetig und differenzierbar. Dann gibt es mindestens ein x 0 ∈ ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} , so dass f ′ ( x 0 ) = f ( b ) − − f ( a ) b − − a {\displaystyle f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}}

gilt.

Eine Funktion f {\displaystyle f} ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x 0 {\displaystyle x_{0}} ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

lim x → → x 0 f ( x ) − − f ( x 0 ) x − − x 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}

existiert. Diesen Grenzwert bezeichnet man als die Ableitung von f {\displaystyle f} an der Stelle x 0 {\displaystyle x_{0}} .

y = f ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle y=f'(x_{0})\!\,(x-x_{0})+f(x_{0})}

y = − − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − − x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle y={\frac {-1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})+f(x_{0})}

( a ) ′ = 0 {\displaystyle \left(a\right)'=0}

( a ⋅ ⋅ f ) ′ = a ⋅ ⋅ f ′ {\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'}

( g ± ± h ) ′ = g ′ ± ± h ′ {\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm h'}

( g ⋅ ⋅ h ) ′ = g ′ ⋅ ⋅ h + g ⋅ ⋅ h ′ {\displaystyle (g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'}

( g h ) ′ = g ′ ⋅ ⋅ h − − g ⋅ ⋅ h ′ h 2 {\displaystyle \left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}}

( x n ) ′ = n x n − − 1 {\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}}

( g ∘ ∘ h ) ′ ( x ) = ( g ( h ( x ) ) ) ′ = g ′ ( h ( x ) ) ⋅ ⋅ h ′ ( x ) {\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)}

f ′ ( x ) = ( h ′ ( x ) ln ⁡ ⁡ ( g ( x ) ) + h ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) ) g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}} .

Die Ableitung n {\displaystyle n} -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei n {\displaystyle n} -fach differenzierbaren Funktionen f {\displaystyle f} und g {\displaystyle g} ergibt sich aus

( f g ) ( n ) = ∑ ∑ k = 0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − − k ) {\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}} .

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} sind Binomialkoeffizienten.

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der n {\displaystyle n} -ten Ableitung der Komposition zweier n {\displaystyle n} -fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Betrachtet wird f : : x ↦ ↦ f ( x ) {\displaystyle f\colon x\mapsto f(x)}

Funktionsterm:

f ( x ) = a z x z + a z − − 1 x z − − 1 + ⋯ ⋯ + a 1 x + a 0 b n x n + b n − − 1 x n − − 1 + ⋯ ⋯ + b 1 x + b 0 = P z ( x ) Q n ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {a_{z}x^{z}+a_{z-1}x^{z-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{z}(x)}{Q_{n}(x)}}}

• Einteilung

• Ist das Nennerpolynom Q n {\displaystyle Q_{n}} vom Grad 0 (also n = 0 und b0 ≠ 0) und ist P z {\displaystyle P_{z}} nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen oder einer Polynomfunktion.

• Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.

• Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.

• Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann mittels Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden.

• Definitionsbereich

• D = R ∖ ∖ { x 0 ∣ ∣ Q n ( x 0 ) = 0 } {\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \lbrace x_{0}\mid Q_{n}(x_{0})=0\rbrace }

• Asymptotisches Verhalten: Für x → → ∞ ∞ {\displaystyle x\to \infty } strebt f ( x ) {\displaystyle f(x)}

• [falls z > n {\displaystyle z>n} ] gegen sgn ⁡ ⁡ ( a z ) ⋅ ⋅ sgn ⁡ ⁡ ( b n ) ⋅ ⋅ ∞ ∞ {\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{z})\cdot \operatorname {sgn}(b_{n})\cdot \infty } , wobei sgn die Vorzeichenfunktion bezeichnet.

• [falls z = n {\displaystyle z=n} ] gegen a z b n {\displaystyle {\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}}

• [falls z < n {\displaystyle z<n} ] gegen 0 (die x-Achse)

• Symmetrie

• Sind P z {\displaystyle P_{z}} und Q n {\displaystyle Q_{n}} beide gerade oder beide ungerade, so ist f {\displaystyle f} gerade (symmetrisch zur y-Achse).

• Ist P z {\displaystyle P_{z}} gerade und Q n {\displaystyle Q_{n}} ungerade, so ist f {\displaystyle f} ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung); Gleiches gilt, wenn P z {\displaystyle P_{z}} ungerade und Q n {\displaystyle Q_{n}} gerade ist.

• Polstellen: x p {\displaystyle x_{p}} heißt Polstelle von f {\displaystyle f} , wenn

• Q n ( x p ) = 0 und P z ( x p ) ≠ ≠ 0. {\displaystyle Q_{n}(x_{p})=0\quad {\text{und}}\quad P_{z}(x_{p})\neq 0.}

• Asymptoten: Mittels Polynomdivision von p {\displaystyle p} durch q {\displaystyle q} erhält man p = g ⋅ ⋅ q + r {\displaystyle p=g\cdot q+r} mit Polynomen g {\displaystyle g} und r {\displaystyle r} , wobei der Grad von r {\displaystyle r} kleiner als der von q {\displaystyle q} ist. Das asymptotische Verhalten von f = p q = g + r q {\displaystyle f={\tfrac {p}{q}}=g+{\tfrac {r}{q}}} ist damit durch die ganzrationale Funktion g {\displaystyle g} bestimmt:

• [ z < n ] {\displaystyle [z<n]\,} x-Achse ist Asymptote: g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0}

• [ z = n ] {\displaystyle [z=n]\,} waagerechte Asymptote: g ( x ) = a z b n {\displaystyle g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}}

• [ z = n + 1 ] {\displaystyle [z=n+1]\,} schräge Asymptote: g ( x ) = m x + c ; m ≠ ≠ 0 {\displaystyle g(x)=mx+c\,;m\neq 0}

• [ z > n + 1 ] {\displaystyle [z>n+1]\,} ganzrationale Näherungsfunktion

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall von a bis b ist

• ∫ ∫ a b f ( x ) d x , falls f ( x ) ≥ ≥ 0 ∀ ∀ x ∈ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\geq 0\forall x\in [a,b]}

• − − ∫ ∫ a b f ( x ) d x , falls f ( x ) ≤ ≤ 0 ∀ ∀ x ∈ ∈ [ a , b ] {\displaystyle -\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\qquad {\text{falls }}f(x)\leq 0\forall x\in [a,b]}

• Andernfalls ist das Intervall durch Bestimmung der Nullstellen in solche Teilintervalle zu zerlegen.

∫ ∫ a b f ( x ) d x = − − ∫ ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\mathrm {d} x}

∫ ∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0}

∫ ∫ a c f ( x ) d x = ∫ ∫ a b f ( x ) d x + ∫ ∫ b c f ( x ) d x , a < b < c {\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x,\qquad a<b<c}

∫ ∫ a b k ⋅ ⋅ f ( x ) d x = k ⋅ ⋅ ∫ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}

∫ ∫ a b ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ ∫ a b f ( x ) d x + ∫ ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}

F a ( x ) = ∫ ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F_{a}(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t}

F a ( x ) ′ = f ( x ) {\displaystyle F_{a}(x)'=f(x)\,}

Jede Funktion F {\displaystyle F} heißt Stammfunktion von f {\displaystyle f} , wenn für alle x des Definitionsbereichs gilt F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)\,}

Dies bezeichnet der Ausdruck ∫ ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x}

Ist F irgendeine Stammfunktion von f, so gilt ∫ ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}

Die Stammfunktionen von f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} sind

F ( x ) = x n + 1 n + 1 + c , n ≠ − − 1 {\displaystyle F(x)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c,\qquad n\not =-1}

Alles Weitere siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

• unbestimmt ∫ ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) − − ∫ ∫ f ′ ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x} ∫ ∫ f ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) d x = f ( x ) ⋅ ⋅ G ( x ) − − ∫ ∫ f ′ ( x ) ⋅ ⋅ G ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x=f(x)\cdot G(x)-\int f'(x)\cdot G(x)\mathrm {d} x}

• bestimmt ∫ ∫ a b f ( x ) ⋅ ⋅ g ′ ( x ) d x = [ f ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) ] a b − − ∫ ∫ a b f ′ ( x ) ⋅ ⋅ g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\mathrm {d} x}

• unbestimmt ∫ ∫ f ( x ) d x = ∫ ∫ f ( φ φ ( t ) ) φ φ ′ ( t ) d t {\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\varphi (t))\varphi '(t)\mathrm {d} t}

• bestimmt ∫ ∫ a b f ( φ φ ( t ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( t ) d t = ∫ ∫ φ φ ( a ) φ φ ( b ) f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\mathrm {d} x}

• Spezialfall: lineare Substitution ∫ ∫ f ( m x + n ) d x = 1 m F ( m x + n ) + C , m ≠ ≠ 0 {\displaystyle \int f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}F(mx+n)+C,\qquad m\neq 0} ∫ ∫ a b f ( m x + n ) d x = 1 m [ F ( m x + n ) ] a b , m ≠ ≠ 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(mx+n)\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\lbrack F(mx+n)\rbrack _{a}^{b},\qquad m\neq 0}

• Spezialfall: logarithmische Integration ∫ ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln ⁡ ⁡ | f ( x ) | + C , f ( x ) ≠ ≠ 0 {\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C,\qquad f(x)\neq 0}

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a,b] π π ⋅ ⋅ ∫ ∫ a b f 2 ( x ) d x {\displaystyle \pi \cdot \int _{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm {d} x}

• Volumen des Körpers bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen der umkehrbaren Funktion f und der y-Achse im Intervall [a,b] π π ⋅ ⋅ ∫ ∫ f ( a ) f ( b ) ( f − − 1 ( y ) ) 2 d y {\displaystyle \pi \cdot \int _{f(a)}^{f(b)}(f^{-1}(y))^{2}\mathrm {d} y}

• Volumen des Körpers, der bei y-Rotation der Fläche, welche durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], der x-Achse und den beiden Geraden x = a {\displaystyle x=a} und x = b {\displaystyle x=b} begrenzt wird, entsteht 2 π π ⋅ ⋅ ∫ ∫ a b ( x ⋅ ⋅ f ( x ) ) d x {\displaystyle 2\pi \cdot \int _{a}^{b}(x\cdot f(x))\mathrm {d} x}

M {\displaystyle M} Oberflächeninhalt

V {\displaystyle V} Volumen

L {\displaystyle L} Länge der erzeugenden Linie (Profillinie)

A {\displaystyle A} Flächeninhalt der erzeugenden Fläche

R {\displaystyle R} Radius des Schwerpunktkreises

M = L ⋅ ⋅ 2 π π R {\displaystyle M=L\cdot 2\pi R}

Ausgedrückt in Abhängigkeit von der Funktion f(x) der erzeugenden Linie ergibt sich dies als:

• bei Rotation um die x-Achse M = 2 π π ∫ ∫ a b f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . {\displaystyle M=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x.}

• bei Rotation um die y-Achse M = 2 π π ∫ ∫ min ( f ( a ) , f ( b ) ) max ( f ( a ) , f ( b ) ) f − − 1 ( y ) 1 + [ ( f − − 1 ( y ) ) ′ ] 2 d y . {\displaystyle M=2\pi \int _{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))}f^{-1}(y){\sqrt {1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^{2}}}\mathrm {d} y.}

V = A ⋅ ⋅ 2 π π R . {\displaystyle V=A\cdot 2\pi R.}

Im Fall der Rotation um die x-Achse einer Fläche zwischen f ( x ) {\displaystyle f(x)} , der x-Achse und den Grenzen x = a {\displaystyle x=a} und x = b {\displaystyle x=b} ergibt sich das Volumen ausgedrückt durch f ( x ) {\displaystyle f(x)} mit R {\displaystyle R} als Flächenschwerpunkt zu

V = A ⋅ ⋅ 2 π π 1 A ∫ ∫ A y d A = π π ⋅ ⋅ ∫ ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x {\displaystyle V=A\cdot 2\pi {\tfrac {1}{A}}\int _{A}y\mathrm {d} A=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(x))^{2}\mathrm {d} x}

mit y = f ( x ) 2 {\displaystyle y={\tfrac {f(x)}{2}}} und d A = f ( x ) d x . {\displaystyle \mathrm {d} A=f(x)\mathrm {d} x.}

• Ist f auf [a,b] stetig, so heißt m ¯ ¯ {\displaystyle {\bar {m}}} der Mittelwert der Funktionswerte von f auf [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} m ¯ ¯ = 1 b − − a ⋅ ⋅ ∫ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle {\bar {m}}={\frac {1}{b-a}}\cdot \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}

• Länge des Bogens der differenzierbaren Funktion f im Intervall [a,b]: L = ∫ ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\mathrm {d} x}

• Zerlegungssummen ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ h f ( x 1 ) + h f ( x 2 ) + ⋯ ⋯ + h f ( x n ) mit h = b − − a n {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx hf(x_{1})+hf(x_{2})+\cdots +hf(x_{n})\qquad {\text{mit }}h={\frac {b-a}{n}}}

• Keplersche Fassregel ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ 1 6 ⋅ ⋅ ( f ( a ) + 4 ⋅ ⋅ f ( a + b 2 ) + f ( b ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {1}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}

• Trapezregel ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ f ( b ) + f ( a ) 2 ⋅ ⋅ ( b − − a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {f(b)+f(a)}{2}}\cdot (b-a)} ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ b − − a 2 n ( f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + ⋯ ⋯ + 2 f ( x n − − 1 + f ( x n ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+\cdots +2f(x_{n-1}+f(x_{n})\right)} ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ b − − a 2 ⋅ ⋅ b − − a 2 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{2}}\cdot {\frac {b-a}{2}}}

• Sehnentrapez

• Tangententrapez

• Simpsonregel ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ b − − a 6 ⋅ ⋅ ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)} ∫ ∫ a b f ( x ) d x ≈ ≈ b − − a 6 n ⋅ ⋅ ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + ⋯ ⋯ f ( x n ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx {\frac {b-a}{6n}}\cdot \left(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots f(x_{n})\right)}

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4.